KUMMER (E. E.)


KUMMER (E. E.)
KUMMER (E. E.)

Le mathématicien allemand Kummer est un des fondateurs de la théorie des nombres algébriques. Ses tentatives pour établir le «grand théorème» de Fermat l’ont conduit à étudier la divisibilité dans les corps cyclotomiques et à introduire, à cet effet, ses célèbres «nombres idéaux» (cf. théorie des NOMBRES – Nombres algébriques). Cette notion essentielle, rendue ensuite plus maniable par R. Dedekind, est à la base de la théorie générale des idéaux, qui fut développée par D. Hilbert, puis par E. Noether et qui est devenu l’un des outils essentiels de l’algébriste.

Éléments biographiques et premiers travaux

Ernst Eduard Kummer est le second fils d’un médecin de Sorau, dans l’ancienne Prusse, actuellement en Pologne. Il avait trois ans lorsqu’il perdit son père. La veuve, malgré sa pauvreté, fit faire des études à ses deux enfants, et, à dix-huit ans, Ernst Eduard fut inscrit en théologie à l’université de Halle. Le professeur de mathématiques, F. Scherk, lui donna le goût de l’algèbre et de la théorie des nombres et il abandonna bientôt la théologie pour les sciences exactes. En 1831, il était docteur en mathématiques. Professeur au gymnase de Liegnitz, il y eut pour élève Leopold Kronecker. Nommé, en 1842, à l’université de Breslau, il y enseigna jusqu’en 1855, date à laquelle il succéda à P. G. Lejeune-Dirichlet (1805-1859) à l’université de Berlin. Il devint, la même année, membre effectif de l’Académie de Berlin, dont il était membre correspondant depuis 1839. En plus de sa chaire à l’Université, il professait à l’École militaire. En 1884, il prit sa retraite, et vécut ensuite très retiré. Il mourut de l’influenza, à Berlin.

Les premiers travaux qui lui assurèrent un nom dans l’histoire de la science se rapportent aux séries, aux intégrales définies et à l’intégration des équations différentielles. Son mémoire sur la fonction hypergéométrique (1836) constitue un important complément aux travaux de C. F. Gauss sur ce sujet. Habile algébriste, il décompose le discriminant de l’équation qui détermine les axes d’une quadrique en une somme de sept carrés. Ses études sur les congruences dans l’anneau des polynômes à coefficients réels suggèrent à A.-L. Cauchy sa théorie «algébrique» des nombres complexes fondée sur les résidus modulo (x 2 + 1) (cf. nombres COMPLEXES, chap. 1).

Les «nombres idéaux»

C’est de 1837 qu’est daté le premier mémoire de Kummer sur le grand théorème de Fermat, concernant l’impossibilité de l’équation xm + ym = zm dans l’anneau Z des entiers dès que m est supérieur à 2. Kummer fut ainsi amené, comme plusieurs autres chercheurs contemporains, à s’intéresser aux anneaux cyclotomiques, ou, suivant son langage, «aux nombres complexes formés par des nombres entiers et des racines de l’unité», nombres complexes de la forme:

où les ai sont entiers relatifs et où 﨡 est une racine primitive de 﨡 n = 1. Le cas le plus simple est celui des nombres de Gauss a + bi , a et b entiers relatifs. Kummer crut un moment avoir démontré le théorème de Fermat, grâce à cette extension du concept de nombre entier. Mais son ami Dirichlet, à qui il soumit son manuscrit, vers 1843, lui signala un point faible dans sa démonstration: si la décomposition d’un nombre en ses facteurs premiers est unique dans l’anneau Z des entiers et dans l’anneau de Gauss, il n’en est pas toujours de même dans les anneaux cyclotomiques.

Des tentatives analogues à celle de Kummer avaient été faites en France; Cauchy lui-même s’était attaqué, sans résultat, à ce problème. Joseph Liouville avait apporté à une preuve de Gabriel Lamé une critique analogue à celle que Dirichlet faisait à Kummer. Celui-ci lui écrivit de Breslau, le 28 avril 1847, en lui envoyant ses propres travaux de 1845, où la difficulté était enfin, partiellement, vaincue: «Quant à la proposition qu’un nombre complexe ne peut être décomposé en facteurs premiers que d’une seule manière, je puis vous assurer qu’elle n’a pas lieu généralement tant qu’il s’agit des nombres complexes de la forme:

mais qu’on peut la sauver en introduisant un nouveau genre de nombres complexes, que j’ai nommé nombre complexe idéal . Les applications de cette théorie à la démonstration du théorème de Fermat m’ont occupé depuis longtemps et j’ai réussi à faire dépendre l’impossibilité de l’équation de deux propriétés d’un nombre premier, en sorte qu’il ne reste plus qu’à rechercher si elles appartiennent à tous les nombres premiers.» Kummer ne put réaliser cette dernière partie de son programme. Il pensa avoir réussi à prouver que l’ensemble des nombres premiers qui avaient les propriétés requises était infini, mais il semble bien qu’il n’en soit rien.

L’Académie des sciences de Paris avait proposé plusieurs fois, depuis 1823, la démonstration du théorème de Fermat pour son grand prix de mathématiques. Comme elle ne trouvait jamais un mémoire digne de la médaille d’or, elle l’attribua, en 1857, à Kummer, «pour ses belles recherches sur les nombres complexes», bien qu’il n’eût jamais concouru.

Les nombres idéaux, d’un maniement technique délicat, ont donné naissance à la théorie des «idéaux», créée par R. Dedekind vers 1870, qui joue un rôle essentiel dans toutes les branches des mathématiques (cf. théorie des NOMBRES – Nombres algébriques).

Signalons encore, parmi les travaux de Kummer en théorie des nombres, ses études sur la loi de réciprocité pour le degré 4 et les degrés supérieurs.

Géométrie algébrique

Les recherches de W. R. Hamilton sur les systèmes de rayons optiques ont inspiré à Kummer des études sur les congruences de droites (familles de droites, à deux paramètres indépendants, dans l’espace euclidien de dimension trois). Elles donnent lieu, en 1860, à un mémoire où il introduit le concept et la mesure de la densité d’une congruence. Cette quantité, pour la congruence des normales à une surface, se ramène à la courbure de celle-ci. En 1866, il étudie les congruences algébriques de droites. Les surfaces focales des congruences d’ordre 2 le conduisent à la découverte de la surface qui porte son nom. La surface de Kummer est une quartique qui est sa propre duale. Elle a seize points doubles, et, par suite, seize plans tangents singuliers. Son groupe est isomorphe à celui de l’équation de Dirac en mécanique quantique.

Kummer a déterminé toutes les quartiques qui sont leurs propres duales, ainsi que toutes celles qui contiennent chacune une infinité de coniques. Parmi ces dernières, figure la «surface romaine» de J. Steiner, ainsi appelée parce que son inventeur l’a conçue lors d’un séjour à Rome, et dont Kummer, le premier, a construit un modèle.

Encyclopédie Universelle. 2012.

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